ปัญหาของเส้นโค้ง
สำหรับเส้นตรง การหา "ความชัน" นั้นเป็นเรื่องง่าย แต่สำหรับเส้นโค้งล่ะ? ความชันของมันเปลี่ยนแปลงอยู่ตลอดเวลา อนุพันธ์คือเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่เราใช้เพื่อหาอัตราการเปลี่ยนแปลงที่แม่นยำ หรือก็คือความชันที่แท้จริง ณ จุดใดจุดหนึ่งบนเส้นโค้ง ส่วนนี้จะแนะนำให้รู้จักกับความท้าทายที่อนุพันธ์ถูกออกแบบมาเพื่อแก้ไข
For a straight line, finding the "steepness" or slope is simple. But what about a curve? Its steepness is constantly changing. A derivative is the mathematical tool we use to find the precise rate of change—the exact slope—at any single point on a curve. This section introduces the challenge that derivatives were designed to solve.
จากการประมาณค่าสู่ความแม่นยำ
เพื่อหาความชัน ณ จุดเดียว **P** เราสามารถเริ่มต้นด้วยการประมาณค่า เราเลือกจุดที่สอง **Q** แล้วลากเส้นตรง (เส้นตัดโค้ง) ผ่านทั้งสองจุด ความชันของเส้นนี้คือค่าประมาณ เมื่อเราเลื่อนจุด **Q** เข้าใกล้จุด **P** มากขึ้นเรื่อยๆ ค่าประมาณนี้ก็จะดีขึ้นเรื่อยๆ เครื่องมือด้านล่างนี้ให้คุณทำเช่นนั้นได้ สังเกตว่าเส้นตัดโค้งจะกลายเป็น เส้นสัมผัส—เส้นที่สัมผัสเส้นโค้ง ณ จุด **P** เพียงจุดเดียว—เมื่อระยะห่างระหว่างจุด `h` เข้าใกล้ศูนย์ ความชันของเส้นสัมผัสนี้ก็คืออนุพันธ์นั่นเอง
To find the slope at a single point **P**, we can start by approximating. We pick a second point, **Q**, and draw a straight line (a secant line) through them. The slope of this line is an estimate. As we slide **Q** closer and closer to **P**, this estimate gets better. The interactive below lets you do exactly that. Watch how the secant line transforms into a tangent line—a line that just touches the curve at point **P**—as the distance between the points, `h`, approaches zero. The slope of this tangent line is the derivative.
Move Point Q closer to P
ระยะห่าง (h): 2.00
ความชันเส้นตัด: 4.00
เมื่อ h → 0, ความชันของเส้นตัดจะเข้าใกล้ความชันจริง ณ จุด P
As h → 0, the secant slope approaches the true slope at P.
นิยามอย่างเป็นทางการ
กระบวนการที่เราได้สำรวจไปเมื่อครู่นี้ สามารถแสดงในทางคณิตศาสตร์ได้โดยใช้ **ลิมิต** เราแสดงความชันของเส้นตัดด้วยสูตร แล้วใช้ลิมิตเพื่อหาค่าที่มันเข้าใกล้เมื่อระยะห่าง `h` เล็กลงจนเข้าใกล้อนันต์ สิ่งนี้ทำให้เราได้นิยามอย่างเป็นทางการของอนุพันธ์ ซึ่งเขียนเป็น \(f'(x)\)
The visual process you just explored is captured mathematically using a **limit**. We express the slope of the secant line with a formula and then use a limit to find what value it approaches as the distance `h` gets infinitesimally small. This gives us the formal definition of the derivative, written as \(f'(x)\).
อนุพันธ์ของฟังก์ชัน \(f(x)\) ณ จุด \(x\) คือ:
The derivative of a function \(f(x)\) at a point \(x\) is:
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \]
"เครื่องจักรหาความชัน"
โดยการใช้นิยามลิมิตกับฟังก์ชันอย่าง \(f(x) = x^2\) เราจะได้ฟังก์ชันใหม่คือ \(f'(x) = 2x\) ฟังก์ชันใหม่นี้เป็นเครื่องมือที่ทรงพลัง—เปรียบเสมือน "เครื่องจักรหาความชัน" สำหรับเส้นโค้งเดิมของเรา ไม่ว่าคุณจะใส่ค่า x ใดๆ เข้าไป มันจะให้ความชันของเส้นสัมผัส ณ จุดนั้นทันที ลองใช้แถบเลื่อนด้านล่างเพื่อเลือกจุดบนเส้นโค้งและดูการทำงานของอนุพันธ์
By applying the limit definition to a function like \(f(x) = x^2\), we get a new function: \(f'(x) = 2x\). This new function is a powerful tool—a "slope-finding machine" for our original curve. For any x-value you input, it instantly gives you the slope of the tangent line at that point. Use the slider below to pick a point on the curve and see the derivative in action.
Select a point 'x' on the curve
ณ x = 1.00
ความชันคือ \(f'(x) = 2x\)
ความชัน = 2.00
สรุปและสัญลักษณ์
Summary & Notation
แนวคิดหลัก
Core Intuition
- อนุพันธ์วัด อัตราการเปลี่ยนแปลง ณ ขณะใดขณะหนึ่ง (instantaneous rate of change)
- ในทางเรขาคณิต มันคือ ความชันของเส้นสัมผัส (slope of the tangent line) กับเส้นโค้ง
- เราหาได้โดยการใช้ ลิมิต ของความชันของเส้นตัดเมื่อจุดสองจุดเข้าใกล้กัน
- ผลลัพธ์ \(f'(x)\) คือฟังก์ชันใหม่สำหรับหาความชันบนเส้นโค้งเดิม \(f(x)\)
สัญลักษณ์ที่ใช้กันทั่วไป
Common Notations
สัญลักษณ์ไพรม์ (Prime): \(f'(x)\) หรือ \(y'\)
สัญลักษณ์ของไลบ์นิซ (Leibniz): \(\frac{dy}{dx}\)
สัญลักษณ์ตัวดำเนินการ (Operator): \(\frac{d}{dx}f(x)\)